W poprzednim wpisie streściłem publikację prof. Chris Cieszewskiego, Rogera Lowe, Petera Bettingera i Aruna Kumara z University of Georgia, którzy w czasopiśmie Mathematical and Computational Forestry & Natural-Resource Sciences (MCFNS) przedstawili wyniki analiz danych satelitarnych z okresu poprzedzającego katastrofę i po niej. Ta notka poświęcona jest innej publikacji z tego samego czasopisma, gdzie Chao Zhang, Wiesław Binienda (Department of Civil Engineering, University of Akron), Frank Horvat (Department of Mechanical Engineering, University of Akron) i Wenzhi Wang ze School of Aeronautics, Northwestern Polytechnical University w Chinach prezentują wyniki komputerowego modelowania metodą elementów skończonych problemu uderzenia skrzydła samolotu w brzozę. 1
Autorzy rozpoczynają od stwierdzenia, że reakcja struktury samolotu na razmaite rodzaje naprężeń i zderzeń staje się obiektem coraz bardziej zaawansowanego modelowania matematycznego. Przeprowadzanie w tej materii eksperymentów jest bardzo kosztowne, stąd wzrost znaczenia technik modelowania. Jako przykłady mogą służyć bardzo rozbudowane symulacje zniszczenia wież WTC we wrześniu 2001 roku i uderzających w nie samolotów czy komputerowe modelowanie zastosowane w przypadku badania katastrof samolotów Boeing 747 (TWA 800) czy Airbusa 300 (AA 587). W przypadku lotu TWA 800 na zlecenie NTSB przeprowadzano symulacje lotu szczątków rozpadającej się maszyny natomiast w przypadku katastrofy AA 587 specjaliści z Airbusa i NASA Langley niezalenie od siebie przeprowadzili modelowanie MES powstających w wyniku szybkich wychyłów steru kierunku sił i obciążeń.
W przypadku ataków na WTC naukowcy cytują prace Wierzbickiego i Xue z Massachusetts Institute of Technology, w których oszacowano, że skrzydła samolotu przy prędkości 240 m/s przecinają stalowe kolumny fasady budynku. 2 Autorzy artykułu w MCFNS poświęcają temu problemowi akapit, ale myślę, że warto dodać więcej szczegółów.
Analizy uderzenia w wieże WTC
Konstrukcja wież WTC była jak na czasy ich konstrukcji pionierska. Większość budowanych w tym okresie drapaczy chmur budowana była w oparciu o inne zasady: cały ich ciężar unoszony był poprzez wewnętrzny szkielet kolumn ciągnących sie poprzez wszystkie piętra. Projektanci WTC przyjęli inne konstrukcyjne założenia: chcieli oni poprzez pozbycie się części tego typu kolumn zaoszczędzić więcej miejsca wewnątrz budynków. W efekcie zdecydowali się oni na projekt „pudełka w pudełku”: kolumny wspierające wieżowce umieszczono właśnie w ich fasadzie oraz w prostokątnym wewnętrznym rdzeniu budowli. Obydwie te wspierające struktury łączono rodzajem kratownicy, która służyła jako podstawa dla kolejnych pięter.
Zewnętrzne kolumny w liczbie 59 na każdą ścianę budynku zostały umieszczone bardzo blisko siebie (nieco ponad 1 metr jedna od drugiej) i połączone były poprzecznymi płytami o grubości od 0,9 do 3,2 cm. Zagęszczenie pokrytych stopem aluminium zewnętrznych kolumn powodowało, że patrząc z daleka wieżowiec ten wydawał się w ogóle nie mieć okien. Na aluminiowe pokrycie zewnętrznych kolumn nabrał się pracownik Gazety Wyborczej, który w artykule sprzed roku orzekł:
Dla ścisłości - ściany budynków WTC to było głownie szkło i aluminium. 3
Autor Gazety Wyborczej nie odrobił jednak pracy domowej. W rzeczywistości zewnętrzna kolumna prefabrykowana była poprzez spawanie stalowych płyt i miała kwadrtatową podstawę o długości boku około 35 cm. Zewnętrzne kolumny na wyższych partiach wieżowców zrobione były z cieńszej (zwykle 6,35 mm) ale twardszej stali niż ich odpowiedniki w dolnych partiach. Zewnętrzne kolumny przygotowywano ze stali o 12 stopniach wytrzymałości: granica sprężystości wynosiła od 248 MPa do 689 MPa. Metalurgiczne badania zewnętrznych kolumn znajdowanych w gruzowisku po zawaleniu się wieżowców wykazały, że parametry stali zwykle przekraczały założone normy o 10-15%.
W czasie budowy fasady używano gotowych prefabrykowanych modułów (kliknij, by powiększyć):
Rzekome „szkło i aluminium” wedle autora Gazety Wyborczej. Źródło: NIST.
Kolumny fasady zaprojektowane były do przenoszenia całości obciążeń bocznych (wynikających m.in. z wiatrów), jak i około 40% całego ciężaru budynku. 60% pozostałego ciężaru budynku przenoszone było przez kolumny rdzenia.
Analizy metalurgiczne i staranna analiza fotograficznej i filmowej dokumentacji przeprowadzona po atakach z 11 września 2001 roku ujawniła, że Boeing 767 uderzył w WTC 1 (północną) pomiędzy 94 a 99 piętrem. Samolot uderzył i przeciął skrzydłami większość z 41 kolumn, numerowanych od 111 do 152. (kliknij, by powiększyć).
Źródło: NIST.
Kolorem czerwonym zaznaczono kolumny fasady przecięte przez samolot. Jak widać, za wyjątkiem samych końcówek, skrzydła przecięły stalowe kolumny fasady na większości długości skrzydeł.
Przywoływana przez Zhanga et al. praca Wierzbickiego i Xue dokonuje oszacowania zachowania się budynku wieży w trakcie i po uderzeniu w niego Boeinga 767. Jak stwierdzają Wierzbicki i Xue:
Można domniemywać, że te fragmenty skrzydła, które mieściły się pomiędzy kratownicami pięter przebiją się aż do znacznie mocniejszych kolumn rdzenia gdzie ulegną zniszczeniu. 4
Sekwencja niszczenia budynków, jak i samolotu stała się nieco później obiektem dokładnych symulacji wykonanych pod auspicjami National Institute of Standards and Technology (NIST). 5 Naukowcy używali tego samego pakietu, co zespół Zhanga: LS-DYNA. Potwierdziły one oszacowania Wierzbickiego i Xue: wypełnione paliwem skrzydła B767 przecinają stalowe kolumny zewnętrznej fasady budynku (kliknij, by powiększyć):
Symulacja fragmentu skrzydła przecinającego zewnętrzne kolumny. Źródło: NIST.
Analiza zniszczeń zewnętrznych kolumn w wyniku uderzenia fragmentu skrzydła. Źródło: NIST.
Warto zwrócić uwagę, że skrzydło B767 posiada tylko dwa dźwigary w porównaniu do trzech w skrzydle Tu-154M.
Powracając jednak do artykułu Zhanga i współpracowników. Autorzy stwierdzają, że rola brzozy w zniszczeniu konstrukcji skrzydła podczas katastrofy rządowego Tu-154M w Smoleńsku jest dyskusyjna. Badania interakcji konstrukcji samolotu z przeszkodami rzadko bywają publikowane. W jednym z opublikowanych artykułów Bocchieri ze współpracownikami przedstawił wyniki symulacji testu zderzeniowego z użyciem samolotu Lockheed Constellation w porównaniu z faktycznym zapisem filmowym tego testu. 6 Autorzy wspomnianego badania także użyli oprogramowania LS-DYNA oraz tego samego rodzaju materiału do modelowania zachowania się drzewa (MAT143). Wszystkie symulacje oraz zapis kamer ukazują, że prawe skrzydło przecina obydwa słupy telefoniczne. Ponad sekundę później zewnętrzny fragment prawego skrzydła odrywa się od głównej konstrukcji.
Model i kalibracja
Na potrzeby symulacji stworzono wirtualny, uproszczony model samolotu Tu-154M bazując na publicznie dostępnych danych. W modelu zignorowano wysunięte podwozie, wewnętrzną mechanizację, śruby czy nity. W modelu skrzydła odtworzono 3 dźwigary, 41 żeber i poszycie z pominięciem wzmacniających konstrukcję stringerów, mechaniki skrzydła czy przewodów hydraulicznych i elektrycznych. Wiadomo, że grubość elementów skrzydła jest znacznie większa przy kadłubie i maleje w kierunku końcówek skrzydeł. Przykładowo, dla tupolewa grubość blachy poszycia przy kadłubie to 6 mm, natomiast przy końcówce skrzydła 2 mm. 7 W symulacji Zhanga et al. grubość dźwigarów, żeber i poszycia założono stałą dla całej rozpiętości skrzydła. Symulowano warianty z następującymi parametrami elementów skrzydła:
- grubość poszycia: od 1 do 5 mm
- grubość ścianek dźwigarów: od 20 do 5 mm (20, 17, 13, 10, 8 i 5 mm).
- grubość poprzecznych żeber: 3 mm
Zastosowany materiał to stop aluminium V95, przy czym testowano zarówno standardowy model dostępny w LS-DYNA, jak i niedawno rozwinięty model Johnson-Cook. Modelowano również - zakładając równomierne rozmieszczenie ciężaru - 8000 kg paliwa. Masa całkowita samolotu wyliczona z modelu to 87000 kg. Kalibrację stopu aluminium wykonano korzystając z rezultatów eksperymentów przeprowadzonych na Northwestern Polytechnical University odtwarzających zderzenie płata skrzydła z ptakami. Na podstawie tego opracowano model w LS-DYNA, symulujący zderzenie i zachowanie się materiału. Następnie rezultaty symulacji porównano z eksperymentalnymi. Wyniki były bardzo podobne.
Dla drzewa przyjęto model ortotropowy, elstyczny. Mechaniczne właściwości i gęstość drzewa brzozy zaczerpnięto z literatury przedmiotu oraz wyznaczano je eksperymentalnie, wykonując na fragmencie drzewa brzozy tzw. three-point bending test. Następnie przeprowadzono symulację tego samego testu w środowisku LS-DYNA. Wyniki eksperymentu i zachowanie się materiału MAT143 były prawie identyczne; ortotropowy materiał w bazie materiałów LS-DYNA wykazywał bardziej liniowe zachowanie. Energia wymagana do złamania drzewa w modelu liniowym (ortotropowym) była prawie 4 razy większa niż energia zmierzona eksperymentalnie i w symulacji z użyciu materiału MAT143 (rozwiniętego w środowisku LS-DYNA do symulowania deflekcji i złamań drewnianych słupów uderzanych przez pojazdy). W symulacjach zderzenia tupolewa z brzozą stosowano obydwa rodzaje materiałów.
Obciążenie w funkcji odgięcia materiału (kliknij, by powiększyć). Krzywa niebieska to wynik eksperymentu, przerywana krzywa czerwona to materiał MAT143 (LS-DYNA), krzywa zielona to materiał ortoelastyczny (również LS-DYNA).
Ponieważ żywe drzewo jest bardziej wilgotne i bardziej miękkie od konstrukcyjnego wynika z tego, że model drzewa użytego w symulacji jest znacznie mocniejszy niż faktyczny. Co więcej, analiza fragmentów smoleńskiej brzozy wykonana przez Chrisa Cieszewskiego, Mike Struba, Antony Finto, Petera Bettingera, Josepha Dahlena i Rogera Lowe wskazuje, że parametry tego drzewa były znacznie słabsze zarówno od modelu materiałowego MAT143, danych podręcznikowych dla drzewa brzozy, jak i od parametrów drzewa, z których wykonano słupy telefoniczne służące we wspomnianym wcześniej teście zderzeniowym z użyciem samolotu Lockheed Constellation (do bardziej szczegółowego omówienia artykułu prof. Cieszewskiego et al. mam nadzieję jeszcze powrócić).
Konfiguracja samolotu w momencie uderzenia w brzozę
Symulacje zderzenia skrzydła samolotu w brzozę przeprowadzano dla kombinacji następujących warunków początkowych:
- prędkość pozioma (vz): od 77,7 do 80 m/s
- prędkość pionowa (vy): od 0 do 19,2 m/s
- kąt przechylenia (roll angle): od 0 do -5 stopni (przechył na lewe skrzydło)
- kąt pochylenia (pitch angle): od 0 do 14 stopni (dziób samolotu w górę, ogon w dół w stosunku do płaszczyzny horyzontu)
- yaw angle był założony 0 stopni, zakładam że nie chodzi tu o kurs samolotu, który nie ma żadnego znaczenia w kontekście tej symulacji. Być może znaczy to więc, że podłużna oś samolotu (X) pokrywała się z kierunkiem wektora prędkości samolotu, a ściślej z jego rzutem na płaszczyznę horyzontu.
- średnica brzozy: 44 cm.
Jako, że samolot uderza w brzoze lewym skrzydłem kadłub i prawe skrzydło symulowane były jako bryły sztywne aby zwiększyć wydajność i szybkość przeliczeń. Połączenie prawego skrzydła z kadłubem modelowano za pomocą funkcji *Constrained Rigid Bodies natomiast połączenie ulegającego deformacji lewego skrzydła z kadłubem funkcją *Constrained Extra Nodes Set.
Obciążenia wynikłe z siły nośnej
Podczas lotu skrzydła poddane są obciążeniom wynikłym z siły nośnej generowanej przez obszar nadciśnienia na dolnej powierzchni skrzydła. Dla dokładniejszej oceny efektów zderzenia tupolewa z brzozą obciążenia te powinny być włączone do modelowania MES. Do oceny tych obciążeń naukowcy przeprowadzili symulację CFD wykorzystując pakiet ANSYS. Modelowano rozkłady ciśnień na skrzydłach dla kątów natarcia od 0 do 20 stopni. Wynikłe z siły nośnej obciążenia inkorporowano następnie do symulacji zderzenia z użyciem LS-DYNA, choć symulacje uderzenia przeprowadzano zarówno z uwzględnieniem obciążeń siły nośnej, jak i - dla porównania - bez nich. Wyniki były bardzo zbliżone. Uszkodzenia przedniego dźwigaru w przypadku uwzględnienia obciążeń wynikłych z siły nośnej były minimalnie większe niż bez nich.
Dystrybucja ciśnienia na dolnej i górnej powierzchni skrzydła (kliknij, by powiększyć). Źródło: MCFNS.
Wstępne oszacowanie skutków uderzenia
Przed omówieniem wyników szczegółowego modelowania MES naukowcy stwierdzają, że jeden z prostszych sposobów na wstępne oszacowanie skutków zderzenia dwóch ciał bazuje na współczynniku twardości (solidity ratio, ρ). Współczynnik ten zdefiniowany jest jako masa struktury M podzielona przez objętość tej struktury V. Przez objętość autorzy rozumieją objętość wyznaczoną zewnętrzną granicą struktury z wyłączeniem objetości samego materiału tejże struktury. Autorzy wyliczyli te wartości z geometrycznego modelu samolotu w LS-DYNA. Dla całego skrzydła Tu-154M ρwing = 930 kg/m3. Dla brzozy ρ jest takie samo jak założona gęstość, czyli 700 kg/m3. Jako, że ρ skrzydła jest wyraźnie wyższa niż brzozy wynika z tego, że skrzydło powinno ściąć drzewo. Autorzy następnie różnicują ρ dla krawędzi natarcia (104 kg/m3) i przedniego dźwigaru (2700 kg/m3). Wynika z tego, że krawędź przednia musi ulec zniszczeniu (znacznie niższy ρ niż brzozy) podczas gdy przedni dźwigar zetnie drzewo. Autorzy zastrzegają jednak, że oszacowanie bazujące na ρ nie bierze pod uwagę dynamiki zderzenia, dlatego aby uzyskać dokładniejsze wyniki konieczne jest modelowanie MES.
Wyniki modelowania MES
Wyniki szeregu symulacji MES wykonanych dla różnych kombinacji opisanych wyżej warunków początkowych potwierdziły poprawność wstępnych oszacowań. Dla każdej kombinacji skrzydło przecina brzozę na dwie części w czasie od 0,01 do 0,022 sekundy po uderzeniu, to jest wtedy, gdy w brzozę uderzy przedni dźwigar. Górna część pnia skutkiem przyjęcia impulsu siły powinna upaść równolegle do kierunku lotu samolotu, jak to potwierdzają testy zderzeniowe z użyciem samolotu Lockheed Constellation.
Wykres przebiegu wartości energii kinetycznej pokazuje jej spadek przez pierwsze 0,022 sekundy co wskazuje na elastyczną deformację struktury skrzydła. Minimalny spadek energii całkowitej samolotu w momencie przecinania brzozy spowodowany był jej rozproszeniem skutkiem zderzenia z drzewem. Jak pokazuje poniższa grafika, energia kinetyczna i całkowita są proporcjonalne. Ich wzrost zaraz po ścięciu brzozy spowodowany był "efektem sprężyny", gdy zdeformowana uderzeniem struktura skrzydła wracała do pierwotnego położenia.
Energia samolotu (a) i prędkość pozioma koncówki skrzydła (b) podczas zderzenia (kliknij, by powiększyć). Prędkość ta mierzona była na górnej części końcówki lewego skrzydła. Źródło: MCFNS.
Naukowcy monitorowali także rotację samolotu w wyniku uderzenia lewym skrzydłem w brzozę. W wyniku tego nastąpiło minimalne przesunięcie się ogonu samolotu w prawo (patrząc na samolot z tyłu) i dziobu maszyny w lewo.
Źródło: MCFNS.
Przerywana linia czerwona reprezentuje prędkość pionową (vy) i jej wyraźny spadek w wyniku zderzenia. Linie niebieska reprezentuje prędkość poprzeczną mierzoną na ogonie samolotu (wartości pozytywne to kierunek wektora w prawo patrząc z tyłu samolotu; negatywne w lewo). W jednym z moich wcześniejszych wpisów skrytykowałem fantastyczne twierdzenie zawarte w raporcie PKBWLLP, o tym że samolot w wyniku uderzenia w brzozę zmienił kierunek lotu o 3,5 stopnia. Oczywiście, autorzy raportu PKBWLLP nie podają śladu wyliczeń na poparcie swoich fantazji. Symulacja Zhanga ze współpracownikami potwierdza moje oszacowania: twierdzenie z raportu PKBWLLP jest zupełnie nierealne. Z mojej interpretacji powyższej grafiki wynika, że końcówka ogona samolotu przesunęła się w prawo w czasie 0,06 sekundy raptem o pół centymetra, co przekłada się na obrót wokół pionowej osi samolotu (Z) maksymalnie o 0,015 stopnia w czasie 0,06 sekundy. Co najmniej 230 razy mniej niż podano (do wierzenia) w raporcie Millera. 8
Jak wspomniłem wcześniej uwzględnienie obciążeń wynikłych z sił nośnych zwiększa w niewielkim stopniu zniszczenie przedniego dźwigaru. Grafika poniżej przedstawia kontur obciążenia i uszkodzenia pierwszego dźwigaru w wyniku zderzenia z brzozą bez uwzględnienia obciążeń skrzydła wynikłych z siły nośnej. Wynik dla grubości dźwigaru 5 mm przy vz = 77,7 i vy = 19,2 m/s:
Grafika poniżej ukazuje zaś kontur obciążeń i uszkodzeń pierwszego dźwigaru w wyniku zderzenia z brzozą z uwzględniem obciążeń skrzydła wynikłych z siły nośnej dla całego testowanego zakresu grubości przedniego dźwigaru - od 20 mm (a) do 5 mm (f):
Źródło: MCFNS.
W wyniku symulacji z zastosowaniem rozmaitych parametrów grubości dźwigaru (od 20 do 5 mm) stwierdzono, że minimalna krytyczna grubość dźwigaru to 8 mm, choć nawet dźwigar o grubości 5 mm przecinał brzozę. Przez minimalną krytyczną grubość badacze rozumieją grubość, gdzie żaden, nawet pojedyńczy element dźwigaru nie jest niszczony. Autorzy, powołując się na rosyjskie publikacje z dziedziny inżynierii lotniczej, twierdzą że grubość przedniego dźwigara w Tu-154M to 12 mm. 9 Czyli nawet ponad dwukrotnie cieńszy dźwigar - pomimo uszkodzeń - przecina brzozę. Dodając do tego, że skrzydło tego samolotu posiada 3 takie dźwigary nie ma szans, by oderwało się ono w wyniku zderzenia z brzozą.
Podsumowanie potwierdza to, co już wiemy z wcześniejszych prezentacji: każdy symulowany scenariusz ukazuje, że to skrzydło przecina brzozę, a nie odwrotnie. Na potwierdzenie tezy przeciwnej po 3 latach od katastrofy nie mamy niczego.
----------------------------------------------------------
Przypisy:
1. Zhang, C., Binienda, W., Horvat, F., & Wang, W. 2013. "Application of Numerical Methods for Crashworthiness Investigation of a Large Aircraft Wing Impact with a Tree". Math. Comput. For. Nat.-Res. Sci. (MCFNS), 5(1): 75-85.
2. Wierzbicki, T., and X. Teng. 2003. "How the airplane wing cut through the exterior columns of the World Trade Center". International Journal of Impact Engineering. 28(6): 601-625.
Wierzbicki, T., L. Xue, and M. Hendry-Brogan. 2002. "Aircraft impact damage". In E. Kausel, (ed.) The Towers Lost and Beyond (s. 31-64). Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, Massachusetts.
Xue, L., L. Zheng, and T. Wierzbicki. 2003. "Interactive failure in high velocity impact of two box beams". ASME 2003 International Mechanical Engineering Congress and Exposition, Washington, DC,
USA.
3. "Naukowcy z USA obalają teorię PiS ws. ścięcia brzozy przez tupolewa". Gazeta Wyborcza 24.04.2012.
4. Wierzbicki et al. "Aircraft impact damage"..., s. 44.
5. Kirkpatrick, S.W., Bocchieri R.T., Sadek, F., MacNeill, R.A., Holmes, S., Peterson, B.D., Cilke, R.W. and Navarro, C. 2005. NIST NCSTAR 1-2B: "Analysis of Aircraft Impacts into the World Trade Center Towers" (Chapters 1-8), World Trade Center Disaster Study. NIST Technology Administration. US Department of Commerce.
6. Bocchieri R.T., MacNeill, R.A., Northrup, C.N. and Dierdorf, D.S. 2012. Crash simulation of transport aircraft for predicting fuel release: First phasesimulation of the Lockheed Constellation model L-1649 full-scale crash test. DOT/FAA/TC-12/43. US Department of Transportation, Federal Aviation Administration, Atlantic City International Airport, New Jersey.
7. "Обшивка переменной толщины: плавно уменьшается от корневой части крыла (до 6 мм) до концевой (до 2 мм), что также позволяет создать равнопрочную по длину конструкцию минимально возможной массы". Cytat z: Zinczenko, W.I. 1998. Konstrukcja i eksploatacja samolotu Tu-154B, Sankt Petersburg.
8. W rzeczywistości jest jeszcze gorzej. Symulacja zakładała, że kadłub jest ciałem sztywnym stąd energia zderzenia minimalnie przesunęła samolot. W rzeczywistości doszłyby tu jeszcze efekty pochłaniania energii uderzenia przez elastyczną reakcję kadłuba, zatem nawet śladowa rotacja wokół osi pionowej samolotu prawdpodobnie w ogóle by nie wystąpiła.
9. Andryukhin, W.A., W.W. Efimov and N.B. Behtina. 2003. Construction and Strength of Airplanes. Ministry of Transportation of Russian Federation. Moscow State Technical University of Civil Aviation. Moscow.
